数学ノート ガンマ関数 Legendreの倍数公式（Liouville の定理による証明）
Legendreの倍数公式は、別記事 ガンマ関数 ３つの定義 でも証明したが、有理型関数(新井仁之) で Liouville の定理 を使った証明を見かけたので取り上げた。倍数公式Legendreの倍数公式は\( \begin{eqnarr...
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数学ノート 数学ノート ガンマ関数 相補公式と正弦関数の無限積表示
ガンマ関数の相補公式から \( \sin z \) の無限積表示が導かれる。逆に \( \sin z \) の無限積表示から相補公式を導くこともできる。相補公式と無限積表示の一方が証明されていれば理論は構成できるため１つの本に両方書かれるこ...
数学ノート ガンマ関数 相補公式
相補公式「相補公式」はガンマ関数の次の関数等式で「相反公式」とも呼ばれる。\( \begin{eqnarray}\Gamma(z) \, \Gamma(1-z) &=& \frac{\pi}{\sin \pi z}\end{eqnarray...
数学ノート 正弦関数の無限積表示
\( \sin \pi z \) の無限積表示を求める。方針は 複素関数入門(神保道夫) を参考にした。\( \sin \pi z \) の無限積表示\( \sin \pi z \) を無限積表示 \( \begin{eqnarray}\s...
数学ノート 余接関数の部分分数展開
\( \cot z \) を例に部分分数展開の方法を学ぶ。主に 複素関数入門(神保道夫) を参照した。\( \pi \cot \pi z\) の部分分数展開極が整数、留数が 1 になるように \( f(z) = \pi \cot \pi z...
数学ノート 三角関数の有理関数の定積分 (2)
前回、三角関数の有理関数を積分するために変数変換した時に思いがけない障害が生じた。今回はパラメータ表示に立ち返って考察する。三角関数のパラメータ表示三角関数のパラメータ表示については 抽象数学の手ざわり(斎藤毅) が参考になった。単位円 \...
数学ノート 三角関数の有理関数の定積分 (1)
三角関数の有理関数を積分する方法は多くの微積分の教科書に書かれているが、定積分についてはあまり触れられていない。定積分を考えていると、面白い謎が生じたので検証してみた。定積分の謎例として、三角関数の有理関数の不定積分 \( \display...
数学ノート ガンマ関数 ３つの定義
ガンマ関数には同値な定義が幾つかある。それぞれの利便性が異なるのでまとめてみた。解析入門 I (杉浦光夫)で現れた３つの定義を取り上げる。定義１ 積分による定義最もスタンダードな定義は積分を使った \(\displaystyle \Gamm...
数学ノート 留数と微分形式
留数の表記の問題点留数は \(\mathop{\rm Res}\limits_{z=c} f(z) \) などのように記述されるが、\(\mathop{\rm Res}\limits_{z=c} f(z)\,dz\) のように微分形式に対応...
数学ノート コーシーの積分定理と代数学の基本定理
複素関数入門（神保道夫）の第３章で、コーシーの積分定理の応用として代数学の基本定理が証明されていた。もう少し先に進んでから証明する教科書が多いと思う。よく見かけるのはリウヴィルの定理の応用だけど、ルーシェの定理を使う方法も有名らしい。（追記...