数学ノート 留数と微分形式
留数の表記の問題点 留数は \(\mathop{\rm Res}\limits_{z=c} f(z) \) などのように記述されるが、\(\mathop{\rm Res}\limits_{z=c} f(z)\,dz\) のように微分形式に対...
2023-02
数学ノート 数学ノート コーシーの積分定理と代数学の基本定理
複素関数入門（神保道夫）の第３章で、コーシーの積分定理の応用として代数学の基本定理が証明されていた。もう少し先に進んでから証明する教科書が多いと思う。よく見かけるのはリウヴィルの定理の応用だけど、ルーシェの定理を使う方法も有名らしい。 （追...
数学ノート 冪級数の収束円周上における収束性
冪級数の収束円周上における収束例 本記事の題材は複素関数入門（神保道夫）第２章で例2.2で与えられている冪級数の収束円周上の収束パターンについて。 \( \begin{eqnarray}f_0(z) &=& \frac{z}{1-z} \,...
数学ノート 対数関数と逆三角関数
今回の題材は関数論講義（金子晃）の第１章から。この本、第１章から目から鱗が落ちる。 対数関数の定義 対数関数は指数関数の逆関数として定義されることが多い。指数関数はオイラーの公式を使って定義されることも多いが、冪級数を使った定義 \( \d...