数学ノート 一意分解整域でない整数環の部分環
一意分解でない整域の例としては \( \mathbb{Z} \) がよく取り上げられるが、これは \( \mathbb{Q} (\sqrt{-5} ) \) が類数１でないことから得られる。よりシンプルな例として \( \mathbb{Z}...
数学ノート
数学ノート 数学ノート 曲線と曲面 §18 ガウスーワインガルデンの公式
「手を動かしてまなぶ 曲線と曲面 (藤岡 敦) §18 ガウスーワインガルデンの公式」の学習記録。 ガウスの公式 ガウスの公式とは言うものの中身はなくて、ほとんど定義に近い印象。まずは記号を確認。 \( p: D\rightarrow {\...
数学ノート 曲線と曲面 §17 正規直交標構による方法
「手を動かしてまなぶ 曲線と曲面 (藤岡 敦) §17 正規直交標構による方法」の学習記録。 正規直交標構 パラメータ \( u,v \) で表された曲面 \( p(u,v) \) を考える。パラメータ \( u, v \) はしばしば省略...
数学ノート 曲線と曲面 §16 主曲率とガウス曲率および平均曲率
「手を動かしてまなぶ 曲線と曲面 (藤岡 敦) §16 主曲率とガウス曲率および平均曲率」の学習記録。 主曲率 10.1 で記録しておきたいことは \( EG-F^2 > 0 \) が成り立つことである。テキストは線形代数の知識をあまり仮定...
数学ノート Dirichlet 積分
数論で Minkowski の定理を調べていた時、予備知識として Dirichlet 積分が必要になった。微積分の教科書を探しても２変数までしか扱っていないことが多くて、意外と見つけられなかったので書き留めておく。 ベータ関数とガンマ関数 ...
数学ノート 局所化と零因子
局所化の定義は零因子を意識しているとしか思えないが、私が読むレベルのテキストではその辺りは触れていない。少し検討したことを記録しておく。 局所化の定義 可換環 \(A\) とその積閉集合 \(S\) に対して、局所化 \(S^{-1}A\)...
数学ノート 複素平面上の円の方程式
複素平面上の円および直線の方程式についてまとめた。主に 複素関数論講義(野村) 1.4章を参考にした。 直線の方程式 ２つの複素数 \(u,v\) を２次元ベクトルと見た時の内積は \( \mathrm{Re}\left( \overlin...
数学ノート アポロニウスの円
複素関数論で鏡像関係を定義するためにアポロニウスの円を導入する。議論では複素数は使わない。 アポロニウスの円の定義 複素平面上の2点 \( \alpha, \beta \) と実数 \( 0<k<1 \) に対して、\( |z-\alpha...
数学ノート リーマン球上の円
リーマン球上の円が複素平面上では円または直線であることについてまとめた。複素関数論講義(野村) 11.1章を参考にした。 リーマン球と複素平面 リーマン球 \( \hat{ \bf{C} }\) は３次元座標系で \( X^2+Y^2+Z^...
数学ノート Cauchy 型積分
Cauchy 型積分という用語はたぶん聞いたことが無いと思う。私も 複素関数論(岸、藤本) で見かけただけで他に見たことがない。 Cauchy の積分公式と Cauchy 型積分 Cauchy の積分公式は良く知られている。閉曲線 \(C\...