教養数学 ベータ関数とガンマ関数の関係式
ベータ関数とガンマ関数の間にある有名な関係式 \( \displaystyle B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \) を証明する。２変数の広義積分が理解できていれば、このペ...
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教養数学 教養数学 ブロック行列の逆行列
ある本でブロック行列で表現された行列の逆行列を目にした。証明は簡単で、掛けて単位行列になることを確認すればよい。しかし、どのように逆行列を導いたかは書かれておらず、長い期間分からないままだった。このままでは必要になるたびに逆行列を解説してい...
教養数学 ２次無理関数の積分(2)
\( \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} \) を前回と同じように求めてみよう。根号の中が正である必要があるので、\( x > 1 \) または \( x < -1 \) となる。ここでは ...
教養数学 ２次無理関数の積分(1)
ほとんどの微積分の教科書で公式 \( \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}} = \log\left(x + \sqrt{x^2+1}\right) + C \) は紹介されている。一番さぼった...
教養数学 クラメルの公式
多くの教科書ではクラメルの公式を逆行列の公式から導出しているようだ。私の使っていた教科書もそうだった。ラング著「線形代数学」で行列式の性質から直接導いているのを見つけ、以降これに従って講義をするようにした。長谷川浩二著「線型代数」でも採用さ...
教養数学 逆行列
本記事は線形代数の講義をしていた時に、テキストの構成に感じた疑問の解決である。今回の内容は数学科以外の講義では難易度が高いのではないかと感じている。 定義 逆行列の定義は以下のように与えられるであろう。 正方行列 \(A\) に対して、\(...
教養数学 ベクトル三重積の公式の証明
ベクトル三重積の公式の成分計算を使わない証明方法がなかなか見つけられなかった。そもそも外積は成分を使わず幾何学的に定義できるので、成分を使わずにできるはずと思う。試みた証明をここに書き留めておく。 ベクトル三重積の公式 ３次元ベクトル \(...