数学ノート 複素平面上の円の方程式
複素平面上の円および直線の方程式についてまとめた。主に 複素関数論講義(野村) 1.4章を参考にした。 直線の方程式 ２つの複素数 \(u,v\) を２次元ベクトルと見た時の内積は \( \mathrm{Re}\left( \overlin...
複素関数論
数学ノート 数学ノート アポロニウスの円
複素関数論で鏡像関係を定義するためにアポロニウスの円を導入する。議論では複素数は使わない。 アポロニウスの円の定義 複素平面上の2点 \( \alpha, \beta \) と実数 \( 0<k<1 \) に対して、\( |z-\alpha...
数学ノート リーマン球上の円
リーマン球上の円が複素平面上では円または直線であることについてまとめた。複素関数論講義(野村) 11.1章を参考にした。 リーマン球と複素平面 リーマン球 \( \hat{ \bf{C} }\) は３次元座標系で \( X^2+Y^2+Z^...
数学ノート Cauchy 型積分
Cauchy 型積分という用語はたぶん聞いたことが無いと思う。私も 複素関数論(岸、藤本) で見かけただけで他に見たことがない。 Cauchy の積分公式と Cauchy 型積分 Cauchy の積分公式は良く知られている。閉曲線 \(C\...
数学ノート ガンマ関数 Legendreの倍数公式（Liouville の定理による証明）
Legendreの倍数公式は、別記事 ガンマ関数 ３つの定義 でも証明したが、有理型関数(新井仁之) で Liouville の定理 を使った証明を見かけたので取り上げた。 倍数公式 Legendreの倍数公式は \( \begin{eqn...
数学ノート ガンマ関数 相補公式と正弦関数の無限積表示
ガンマ関数の相補公式から \( \sin z \) の無限積表示が導かれる。逆に \( \sin z \) の無限積表示から相補公式を導くこともできる。相補公式と無限積表示の一方が証明されていれば理論は構成できるため１つの本に両方書かれるこ...
数学ノート ガンマ関数 相補公式
相補公式 「相補公式」はガンマ関数の次の関数等式で「相反公式」とも呼ばれる。 \( \begin{eqnarray}\Gamma(z) \, \Gamma(1-z) &=& \frac{\pi}{\sin \pi z}\end{eqnarr...
数学ノート 正弦関数の無限積表示
\( \sin \pi z \) の無限積表示を求める。方針は 複素関数入門(神保道夫) を参考にした。 \( \sin \pi z \) の無限積表示 \( \sin \pi z \) を無限積表示 \( \begin{eqnarray}...
数学ノート 余接関数の部分分数展開
\( \cot z \) を例に部分分数展開の方法を学ぶ。主に 複素関数入門(神保道夫) を参照した。 \( \pi \cot \pi z\) の部分分数展開 極が整数、留数が 1 になるように \( f(z) = \pi \cot \pi...
数学ノート 留数と微分形式
留数の表記の問題点 留数は \(\mathop{\rm Res}\limits_{z=c} f(z) \) などのように記述されるが、\(\mathop{\rm Res}\limits_{z=c} f(z)\,dz\) のように微分形式に対...