ベータ関数とガンマ関数の関係式

ベータ関数とガンマ関数の間にある有名な関係式 ${\displaystyle B(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}}$ を証明する。２変数の広義積分が理解できていれば、このページだけで分かるように書いたつもりである。

ベータ関数とガンマ関数の定義

ベータ関数とガンマ関数はそれぞれ次のように定義される。

$\begin{array}{rcl}B(x,y)& =& {\int }_0^1{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt\\ \mathrm{\Gamma }(x)& =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t}{t}^{x-1}dt\end{array}$

ガンマ関数については広義積分で定義されているので、本来なら積分が収束することを証明しなければならないが、ここでは無視する。とりあえず $x>0$ であれば収束することが分かっている。どちらの被積分関数も正なので、ベータ関数もガンマ関数も正である。

後で必要となるので、$t={\sin }^2\theta$ と置き換えて、ベータ関数を三角関数の積分に書き換える。

$\begin{array}{rcl}B(x,y)& =& {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2(x-1)}\theta {(1-{\sin }^2\theta )}^{y-1}(2\sin \theta \cos \theta )d\theta \\ \text{(\#)}& & =& 2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2x-1}\theta {\cos }^{2y-1}\theta d\theta \end{array}$

公式の証明

${\displaystyle \mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)=\mathrm{\Gamma }(x+y)B(x,y)}$ を示す。

$\begin{array}{rcl}\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)& =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-s}{s}^{x-1}ds{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t}{t}^{y-1}dt\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(s+t)}{s}^{x-1}{t}^{y-1}dsdt\end{array}$

この後で極座標を使って計算することになるが、$s+t$ から $\theta$ を消すために一旦 $s=u^2,t=v^2$ と置き換える。実際、さらに極座標変換 $u=r\cos \theta ,v=r\sin \theta$ を行うと、$s+t=u^2+v^2=r^2$ と $\theta$ が消える。

$\begin{array}{rcl}\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)& =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(u^2+v^2)}{u}^{2(x-1)}{v}^{2(y-1)}\cdot 4uvdudv\\ & =& 4{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(u^2+v^2)}{u}^{2x-1}{v}^{2y-1}dudv\end{array}$

ここで極座標変換をする。

$\begin{array}{rcl}\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)& =& 4{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^{-r^2}{r}^{2x+2y-2}{\sin }^{2x-1}\theta {\cos }^{2y-1}\theta \cdot rd\theta dr\\ & =& 4{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-r^2}{r}^{2x+2y-1}dr{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2x-1}\theta {\cos }^{2y-1}\theta d\theta \end{array}$

公式 (#) を用いて書き換える。

$\begin{array}{rcl}\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)& =& 2B(x,y){\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-r^2}{r}^{2x+2y-1}dr\end{array}$

$w=r^2$ と置き換える。

$\begin{array}{rcl}\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)& =& 2B(x,y){\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-w}\frac{w^{x+y}}{r}\frac{dw}{2r}\\ & =& B(x,y){\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-w}{w}^{x+y-1}dw\\ & =& B(x,y)\mathrm{\Gamma }(x+y)\end{array}$