数学ノート ガンマ関数 Legendreの倍数公式（ベータ関数による証明）
東北大学の黒木先生から twitter でベータ関数を使った簡明な証明をご紹介いただいた。この証明法はもっと多くのテキストで取り上げられても良いと思うが、手持ちのテキストでは見当たらなかった。ご提供いただいた資料には面白い関連事項もあるよう...
ガンマ関数
数学ノート 数学ノート ガンマ関数 Legendreの倍数公式（Liouville の定理による証明）
Legendreの倍数公式は、別記事 ガンマ関数 ３つの定義 でも証明したが、有理型関数(新井仁之) で Liouville の定理 を使った証明を見かけたので取り上げた。 倍数公式 Legendreの倍数公式は \( \begin{eqn...
数学ノート ガンマ関数 相補公式と正弦関数の無限積表示
ガンマ関数の相補公式から \( \sin z \) の無限積表示が導かれる。逆に \( \sin z \) の無限積表示から相補公式を導くこともできる。相補公式と無限積表示の一方が証明されていれば理論は構成できるため１つの本に両方書かれるこ...
数学ノート ガンマ関数 相補公式
相補公式 「相補公式」はガンマ関数の次の関数等式で「相反公式」とも呼ばれる。 \( \begin{eqnarray}\Gamma(z) \, \Gamma(1-z) &=& \frac{\pi}{\sin \pi z}\end{eqnarr...
数学ノート ガンマ関数 ３つの定義
ガンマ関数には同値な定義が幾つかある。それぞれの利便性が異なるのでまとめてみた。解析入門 I (杉浦光夫)で現れた３つの定義を取り上げる。 定義１ 積分による定義 最もスタンダードな定義は積分を使った \(\displaystyle \Ga...
教養数学 ベータ関数とガンマ関数の関係式
ベータ関数とガンマ関数の間にある有名な関係式 \( \displaystyle B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \) を証明する。２変数の広義積分が理解できていれば、このペ...