数学ノート Dirichlet 積分
数論で Minkowski の定理を調べていた時、予備知識として Dirichlet 積分が必要になった。微積分の教科書を探しても２変数までしか扱っていないことが多くて、意外と見つけられなかったので書き留めておく。 ベータ関数とガンマ関数 ...
微積分
数学ノート 
数学ノート 三角関数の有理関数の定積分 (2)
前回、三角関数の有理関数を積分するために変数変換した時に思いがけない障害が生じた。今回はパラメータ表示に立ち返って考察する。 三角関数のパラメータ表示 三角関数のパラメータ表示については 抽象数学の手ざわり(斎藤毅) が参考になった。単位円...
数学ノート 三角関数の有理関数の定積分 (1)
三角関数の有理関数を積分する方法は多くの微積分の教科書に書かれているが、定積分についてはあまり触れられていない。定積分を考えていると、面白い謎が生じたので検証してみた。 定積分の謎 例として、三角関数の有理関数の不定積分 \( \displ...
数学ノート ガンマ関数 ３つの定義
ガンマ関数には同値な定義が幾つかある。それぞれの利便性が異なるのでまとめてみた。解析入門 I (杉浦光夫)で現れた３つの定義を取り上げる。 定義１ 積分による定義 最もスタンダードな定義は積分を使った \(\displaystyle \Ga...
教養数学 ベータ関数とガンマ関数の関係式
ベータ関数とガンマ関数の間にある有名な関係式 \( \displaystyle B(x,y) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \) を証明する。２変数の広義積分が理解できていれば、このペ...
教養数学 ２次無理関数の積分(2)
\( \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} \) を前回と同じように求めてみよう。根号の中が正である必要があるので、\( x > 1 \) または \( x < -1 \) となる。ここでは ...
教養数学 ２次無理関数の積分(1)
ほとんどの微積分の教科書で公式 \( \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}} = \log\left(x + \sqrt{x^2+1}\right) + C \) は紹介されている。一番さぼった...