非単拡大の中間体

テーマはアルティン著「現代代数学特論」4.4中間体から。次の定理が紹介されている。（明示的に定理としてまとめられているのではなく、内容をまとめたものである。） $E / F$ は有限次拡大とする。

$E / F$ が単拡大 $\Leftrightarrow$ $E / F$ の中間体は有限個

これは「 $E / F$ が非単拡大 $\Leftrightarrow$ $E / F$ の中間体は無限に存在する」と同値であり、この具体例に興味が湧いた。分離拡大ならば単拡大であることが知られているので、非単拡大を見つけるためには非分離拡大でなければならない。非分離拡大は正標数かつ無限体である必要がある。そこで標数２の関数体で考えよう。非分離拡大は単拡大とは限らない。 $F = F_{2} (x^{2}), E = F (x) = F_{2} (x)$ が典型的な非分離拡大の例であるが、これは見ての通り単拡大である。

単拡大でない例としては $F = F_{2} (x^{2}, y^{2}), E = F (x, y) = F_{2} (x, y)$ がある。この例は本にも練習として掲載されているが、具体的な無限個の中間体には触れられていないので、実際に次の系列を構成してみた。

$K_{n} = F_{2} (x + x^{2 n} y)$

$F \subset K_{n} \subset E$ は明らかである。 $F / E$ は4次拡大である。 $K_{n}$ が無限個の中間体系列をなすことを示すためには、 $K_{n} / F$ が2次拡大であることと各 $K_{n}$ が異なることを示せば良い。

$t_{n} = x + x^{2 n} y$ とおくと $t_{n}^{2} = x^{2} + x^{4 n} y^{2}$ なので $K_{n} / F$ は2次以下の拡大である。 $t_{n} \notin F$ を示す。 $t_{n} \in F$ と仮定すると、 $t_{n} = \frac{g (x^{2}, y^{2})}{f (x^{2}, y^{2})}$ となる0でない２変数多項式 $f, g$ が存在する。 $f (x^{2}, y^{2}) (x + x^{2 n} y) = g (x^{2}, y^{2})$ の各項は左辺では奇数次、右辺では偶数次であり矛盾する。よって、 $K_{n} / F$ は2次拡大である。

$m \neq n$ に対して、 $K_{m} \neq K_{n}$ を示す。 $K_{m} K_{n} = F (t_{m}, t_{n}) = E$ を示せば良い。 $t_{n} - t_{m} = (x^{2 n} - x^{2 m}) y$ より $y \in F (t_{m}, t_{n}), x = t_{n} - x^{2 n} y \in F (t_{m}, t_{n})$ 。したがって、 $K_{m} \neq K_{n}$ が示せた。以上により、 $K_{n}$ は異なる中間体である。