Cauchy 型積分

Cauchy 型積分という用語はたぶん聞いたことが無いと思う。私も 複素関数論(岸、藤本) で見かけただけで他に見たことがない。

Cauchy の積分公式と Cauchy 型積分

Cauchy の積分公式は良く知られている。閉曲線 $C$ の内部で正則な関数 $f(z)$ について

$\begin{array}{rcl}f(z)& =& \frac{1}{2\pi i}{\int }_C\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta \end{array}$

が成り立つ。右辺は $C$ の内部の条件には関係なく定義でき、内部で正則という条件を課すと $f(z)$ になるといのが Cauchy の積分公式である。内部における条件を取り除いて、$C$ 上で連続な関数 $\phi (z)$ に対して、積分で表された関数 ${\displaystyle f(z)={\int }_C\frac{\phi (\zeta )}{\zeta -z}d\zeta }$ を Cauchy 型積分と定義する。内部における条件を特に課さなくても、それなりに $f(z)$ は良い性質をもつことを示していく。

$f(z)$ の正則性

複素関数論講義(野村) では 例題 7.25 で$f(z)$ の正則性を示している。$C$ は区分的に滑らかな単純閉曲線としておく。

(証明)
$a\notin C$ とする。

$\begin{array}{rcl}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}& =& \frac{1}{z-a}{\int }_C\phi (\zeta )(\frac{1}{\zeta -z}-\frac{1}{\zeta -a})d\zeta \\ & =& {\int }_C\frac{\phi (\zeta )}{(\zeta -z)(\zeta -a)}d\zeta \end{array}$

ここで $z\to a$ として収束するなら $f(z)$ は $z=a$ で正則である。 ${\displaystyle {\int }_C\frac{\phi (\zeta )}{(\zeta -a{)}^2}d\zeta }$ に収束することを示そう。

$\begin{array}{rcl}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}-{\int }_C\frac{\phi (\zeta )}{(\zeta -a{)}^2}d\zeta & =& (z-a){\int }_C\frac{\phi (\zeta )}{(\zeta -z)(\zeta -a{)}^2}d\zeta \end{array}$

したがって、${\displaystyle {\int }_C\frac{\phi (\zeta )}{(\zeta -z)(\zeta -a{)}^2}d\zeta }$ が有界であることを示せば、$z-a$ が 0 に収束することから全体も 0 に収束する。$a$ と $C$ の距離を $d$ とする。$z$ は $a$ の近傍だけを考えればよいから、$|z-a|<\frac{d}{2}$ とすれば、 $z$ と $C$ の距離は $\frac{d}{2}$ 以上であり、分母は $|(\zeta -z)(\zeta -a{)}^2|\ge \frac{d^3}{4}$ と評価できる。$\phi (\zeta )$ は $C$ 上で連続だから最大値 $M$ をもつ。また、積分路の長さを $L$ とすると、

$\begin{array}{rcl}\left|{\int }_C\frac{\phi (\zeta )}{(\zeta -z)(\zeta -a{)}^2}d\zeta \right|& \le & {\int }_C\left|\frac{\phi (\zeta )}{(\zeta -z)(\zeta -a{)}^2}\right|\left|d\zeta \right|\\ & \le & \frac{4ML}{d^3}\end{array}$

と評価できて、有界である。

冪級数展開と $f^{(n)}(z)$ の積分表示

上で $f(z)$ が正則であることが分かったので、$a\in \mathbf{C}\setminus C$ の周りで冪級数展開が可能である。冪級数展開 ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a{)}^n}$ は一意に定まるので、冪級数展開が求まれば $f^{(n)}(z)$ も求まる。複素関数論(岸、藤本) では $\mathrm{\S }2.3$ 定理２ で冪級数展開および $f^{(n)}(z)$ の積分表示を求めている。上の証明と同じく、$M,Ld$ はそれぞれ $\phi (z)$ の $C$ 上の最大値、積分路 $C$ の長さ、$a$ と $C$ の距離を表すものとする。

$f(z)$ が $C$ の内部で正則の場合は、グルサの定理 ${\displaystyle f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}{\int }_C\frac{f(z)}{(\zeta -z{)}^{n+1}}d\zeta }$ が良く知られている。

(証明)
$z$ は $a$ の近傍にあるとして、$|z-a|<\frac{d}{2}$ を満たすとする。このとき、$z$ と $C$ の距離は $\frac{d}{2}$ 以上である。$\zeta \in C$ なので、$|z-a|<|\zeta -a|$ に注意すると、次式が得られる。

$\begin{array}{rcl}\frac{\phi (\zeta )}{\zeta -z}& =& \frac{\phi (\zeta )}{\zeta -a}\cdot \frac{1}{1-\frac{z-a}{\zeta -a}}\\ & =& \frac{\phi (\zeta )}{\zeta -a}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{z-a}{\zeta -a}\right)}^n\\ & =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\phi (\zeta ){(z-a)}^n}{(\zeta -a{)}^{n+1}}\end{array}$

$\zeta$ を変数と見てこの冪級数は各点収束するが、さらに一様収束することを示そう。

$\begin{array}{rcl}|\frac{\phi (\zeta )}{\zeta -z}-\sum _{n=0}^m\frac{\phi (\zeta ){(z-a)}^n}{(\zeta -a{)}^{n+1}}|& =& \left|\sum _{n=m+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\phi (\zeta ){(z-a)}^n}{(\zeta -a{)}^{n+1}}\right|\\ & \le & \sum _{n=m+1}^{\mathrm{\infty }}\left|\frac{\phi (\zeta ){(z-a)}^n}{(\zeta -a{)}^{n+1}}\right|\\ & \le & \sum _{n=m+1}^{\mathrm{\infty }}\left|\frac{M{\left(\frac{d}{2}\right)}^n}{d^{n+1}}\right|\\ & =& \frac{M}{d}\sum _{n=m+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}\\ & =& \frac{M}{2^{m}d}\to 0(m\to \mathrm{\infty })\end{array}$

最後の収束は $\zeta$ に依存しないから、一様収束である。したがって、$\zeta$ に関する積分と無限和の交換ができるから

$\begin{array}{rcl}f(z)& =& {\int }_C\frac{\phi (\zeta )}{\zeta -z}d\zeta \\ & =& {\int }_C\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\phi (\zeta ){(z-a)}^n}{(\zeta -a{)}^{n+1}}d\zeta \\ & =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left({\int }_C\frac{\phi (\zeta )}{(\zeta -a{)}^{n+1}}d\zeta \right){(z-a)}^n\end{array}$

が得られ、これは $f(z)$ の冪級数展開である。冪級数展開の一意性から

$\begin{array}{rcl}\frac{f^{(n)}(z)}{n!}& =& {\int }_C\frac{\phi (\zeta )}{(\zeta -a{)}^{n+1}}d\zeta \end{array}$

が得られる。

例

$\phi (z)$ が非正則な場合、$f(z)$ はどうなるのだろうか。例として $\phi (z)=\bar{z}$ の場合を計算してみた。積分路は単位円 $|z|=1$ を反時計回りとした。積分路上では $\bar{z}=\frac{1}{z}$ であることを使えば、留数定理により容易に求まる。

$\begin{array}{rcl}f(z)& =& {\int }_{|\zeta |=1}\frac{\bar{\zeta }}{\zeta -z}d\zeta \\ & =& {\int }_{|\zeta |=1}\frac{1}{\zeta (\zeta -z)}d\zeta \\ & =& \frac{1}{z}{\int }_{|\zeta |=1}(\frac{1}{\zeta -z}-\frac{1}{\zeta })d\zeta \\ & =& \frac{1}{z}{\int }_{|\zeta |=1}\frac{1}{\zeta -z}d\zeta -\frac{2\pi i}{z}\end{array}$

$|z|>1$ のときは $f(z)=-\frac{2\pi i}{z}$、$|z|<1$ のときは $f(z)=0$ となり、確かに $f(z)$ は $C$ 上を除いて正則であることが分かる。