数学ノート

コーシーの積分定理と代数学の基本定理

複素関数入門(神保道夫)の第3章で、コーシーの積分定理の応用として代数学の基本定理が証明されていた。もう少し先に進んでから証明する教科書が多いと思う。よく見かけるのはリウヴィルの定理の応用だけど、ルーシェの定理を使う方法も有名らしい。(追記...
数学ノート

冪級数の収束円周上における収束性

冪級数の収束円周上における収束例本記事の題材は複素関数入門(神保道夫)第2章で例2.2で与えられている冪級数の収束円周上の収束パターンについて。\( \begin{eqnarray}f_0(z) &=& \frac{z}{1-z} \,=\...
数学ノート

対数関数と逆三角関数

今回の題材は関数論講義(金子晃)の第1章から。この本、第1章から目から鱗が落ちる。対数関数の定義対数関数は指数関数の逆関数として定義されることが多い。指数関数はオイラーの公式を使って定義されることも多いが、冪級数を使った定義 \( \dis...
教養数学

ブロック行列の逆行列

ある本でブロック行列で表現された行列の逆行列を目にした。証明は簡単で、掛けて単位行列になることを確認すればよい。しかし、どのように逆行列を導いたかは書かれておらず、長い期間分からないままだった。このままでは必要になるたびに逆行列を解説してい...
数学ノート

体の乗法群の有限部分群

はじめに体の乗法群の有限部分群は巡回群である。特に有限体の乗法群は巡回群である。教科書によっては扱っていない内容のようで、証明を探すのに意外と手間取った。アルティン著「ガロア理論入門」を参考にした。これだけの名著がちくま学芸文庫になって安く...
教養数学

2次無理関数の積分(2)

\( \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} \) を前回と同じように求めてみよう。根号の中が正である必要があるので、\( x > 1 \) または \( x < -1 \) となる。ここでは ...
教養数学

2次無理関数の積分(1)

ほとんどの微積分の教科書で公式 \( \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}} = \log\left(x + \sqrt{x^2+1}\right) + C \) は紹介されている。一番さぼった...
日記

ハードディスクの消去

古いPCのハードディスクを DESTROY というソフトを使って消去した。原因は DESTROY ではないのだけれど、かなり手間取ってしまった。また同じ問題が起こるかもしれないので、備忘録として残しておく。OS が入っているパーティションも...
IT教育

超電磁砲でデータベース(Union編)

今回はテーブルの結合の項目で触れられることが多い概念 UNION, INTERSECT, EXCEPT を扱う。LEVEL が 0 の人物、所属が アイテム の人物を調べてみよう。 SELECT NAME FROM STATUS WHERE...
数学ノート

非単拡大の中間体

テーマは アルティン著「現代代数学特論」4.4中間体 から。次の定理が紹介されている。(明示的に定理としてまとめられているのではなく、内容をまとめたものである。)\( E/F \) は有限次拡大とする。\( E/F \) が単拡大 \( \...