四元数群は四元数体の乗法群 \(\bf{H}^\times\) の有限部分群である。もう少し広い有限部分群として一般四元数群がある。四元数を行列で表現する。
\( i \mapsto \left( \begin{array}{cc} i & 0 \\ 0 & -i \end{array} \right)\,,\,
j \mapsto \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right)\,,\,
k \mapsto \left( \begin{array}{cc} 0 & i \\ i & 0 \end{array} \right) \)
このとき、\( e^{i\theta} \mapsto \left( \begin{array}{cc} e^{i\theta} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta} \end{array} \right) \) であり、\( \theta=\frac{2}{n}\pi \) とすると、\( \langle e^{i\theta} \rangle \) は位数 \(n\) の巡回群である。さらに、\(e^{i\theta}\,j=j\,e^{-i\theta}\) より \( \langle e^{i\theta} \,,\, j\rangle \) も有限部分群となり、一般四元数群と呼ばれる。\( a=e^{i\theta} \,,\, b=j \) とすると、\( a^n=1 \,,\, b^4=1 \,,\, ab=ba^{-1} \) となり、一般四元数群のよく使われる定義が得られる。
位数12の有限群を求めるときに \(n=3\) の一般四元数群が現れ、\( a^3=1 \,,\, b^4=1 \,,\, ab=ba^2 \) となる。