数学ノート 分数イデアルと逆イデアル
分数イデアル、特に逆イデアルについて学んだことを記録。デデキント聖域における素イデアル分解の一意性の証明に使われる。分数イデアル\(R\) を整域、\(K\) をその商体とする。\(K\) の部分集合 \(I\) が次の条件を満たすとき、\...
代数
数学ノート 数学ノート 連分数(木田雅成) 第17章
この本を読み始めたのは高木の初等整数論講義がきっかけだった。虚2次無理数の簡約化のアルゴリズムが与えられていて有限回で得られるとされていたが、有限回であるだろうとは思うが証明できているようには思えなかった。この本の最終章に正確な証明があるら...
数学ノート 連分数(木田雅成) 第８章(2)
命題8.22の証明中 p.93 で \( A_n>0 \) が必要と思われるが、すぐに理由を見つけることができなかった。なんとか証明にこぎつけたので記録しておく。実は簡単なことを見落としているような気がしてならない。準備\( p_k \) ...
数学ノート 連分数(木田雅成) 第８章
連分数の第８章命題8.15で、ある行列が対称行列であることを示している。計算が強引に感じるので、線形代数の基礎的なテクニックを使って計算のストレスを軽減してみた。対称行列の証明p.87 では \( B=\left( \begin{array...
数学ノート 連分数(木田雅成) 第4章
初等整数論講義を連分数のところまで読み終えたところで、木田先生の連分数を読み始めた。第4章の 命題 4.7 の証明を少し簡略化したので記録する。(相加平均) \(\geq\) (相乗平均) を使えば、簡略化できるし、場合分けも避けられる。(...
数学ノート 一般四元数群
四元数群の一般化である一般四元数群というものを群論序説(星明考 著)で見かけたので、自分が分かるように記録しておく。四元数群 \(Q_8\) は四元数体の乗法群 \( \mathbb{H}^{\times} \) の有限部分群 \( \{ ...
数学ノート 準二面体群
群論序説(星明考 著) を読んでいて準二面体群が現れた。二面体群のような幾何学的な表現が無いか調べてみたが日本語での解説が見つからず、英語で解説を探したので記録しておく。英語では quasidihedral group または semi-d...
数学ノート 局所化と零因子
局所化の定義は零因子を意識しているとしか思えないが、私が読むレベルのテキストではその辺りは触れていない。少し検討したことを記録しておく。局所化の定義可換環 \(A\) とその積閉集合 \(S\) に対して、局所化 \(S^{-1}A\) を...
数学ノート 非単拡大の中間体
テーマは アルティン著「現代代数学特論」4.4中間体 から。次の定理が紹介されている。（明示的に定理としてまとめられているのではなく、内容をまとめたものである。）\( E/F \) は有限次拡大とする。\( E/F \) が単拡大 \( \...
数学ノート 群の弱い公理
題材は 現代代数学特論（エミール・アルティン）から。たまたまこの本が出版されているのに気付き、絶版になる前にすかさず購入。群の公理一般的に群の公理は以下のように与えられる。結合則\( (ab)c=a(bc) \)単位元 \(e\) の存在任...