曲線と曲面 §17 正規直交標構による方法

「手を動かしてまなぶ曲線と曲面 (藤岡敦) §17 正規直交標構による方法」の学習記録。

正規直交標構
第一基本形式の計算
第二基本形式の計算

正規直交標構

パラメータ $u, v$ で表された曲面 $p (u, v)$ を考える。パラメータ $u, v$ はしばしば省略する。正規直交標構はグラム-シュミットの直交化法を用いて構成できるとあるので、実際に構成してみる。まず、 $e_{1} = \frac{1}{‖ p_{u} ‖} p_{u}$ である。次に $q = p_{v} - ⟨ p_{v}, e_{1} ⟩ e_{1}$ として、 $e_{2} = \frac{1}{‖ q ‖} q, e_{3} = e_{1} \times e_{2}$ とすれば、正規直交標構 ${e_{1}, e_{2}, e_{3}}$ が得られる。

ここで ${{\tilde{e}}_{1} = e_{1}, {\tilde{e}}_{2} = - e_{2}, {\tilde{e}}_{3} = - e_{3}}$ も条件を満たす正規直交標構に思える。しかし、このテキストの構成では除外されるようだ。 ${{\tilde{e}}_{1} = e_{2}, {\tilde{e}}_{2} = e_{1}, {\tilde{e}}_{3} = - e_{3}}$ も同様である。 ${e_{1}, e_{2}}$ と ${p_{u}, p_{v}}$ が同じ向きになることを要求しているようだが、定義17.1 のどこにあるのか今のところ分からないので、とりあえず疑問点として書き留めておく。これは 17.4節でも現れる。 ${\tilde{e}}_{3} = e_{3}$ とされているが、接平面の正規直交系が逆向きの場合、 ${\tilde{e}}_{3} = - e_{3}$ となる。 $(\begin{matrix} e_{1} \\ e_{2} \end{matrix}) = T (\begin{matrix} {\tilde{e}}_{1} \\ {\tilde{e}}_{2} \end{matrix})$ と表した時、 $T \in O (2)$ ではあるが、一般に $T \in S O (2)$ とは限らない。結果に大きな影響はないので ${e_{1}, e_{2}}$ と ${p_{u}, p_{v}}$ が同じ向きになることは仮定しない。

$\frac{1}{‖ p_{u} \times p_{v} ‖} p_{u} \times p_{v} = c e_{1} \times e_{2}$ と表す。 ${e_{1}, e_{2}}$ と ${p_{u}, p_{v}}$ が同じ向きの場合は $c = 1$ 、逆向きの場合は $c = - 1$ である。 $(\begin{matrix} p_{u} \\ p_{v} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}) (\begin{matrix} e_{1} \\ e_{2} \end{matrix})$ と表す。

$\begin{array}{rcl} p_{u} \times p_{v} & = & (a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}) e_{1} \times e_{2} \\ = & \frac{c (a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21})}{‖ p_{u} \times p_{v} ‖} p_{u} \times p_{v} \end{array}$

$c (a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}) = ‖ p_{u} \times p_{v} ‖$ なので、 $a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \neq 0$ 。特に、 $A = (\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array})$ は正則。

第一基本形式の計算

$(\begin{array}{cc} E & F \\ F & G \end{array}) = (\begin{matrix} p_{u} \\ p_{v} \end{matrix}) (\begin{array}{cc} ^{t} p_{u} & ^{t} p_{v} \end{array}) = A (\begin{matrix} e_{1} \\ e_{2} \end{matrix}) (\begin{array}{cc} ^{t} e_{1} & ^{t} e_{2} \end{array})^{t} A = A^{t} A$

$(\begin{array}{cc} α & β \end{array}) (\begin{matrix} p_{u} \\ p_{v} \end{matrix}) = (\begin{array}{cc} θ_{1} & θ_{2} \end{array}) (\begin{matrix} e_{1} \\ e_{2} \end{matrix})$ とする。 $(α, β), (θ_{1}, θ_{2})$ はそれぞれ基底 ${p_{u}, p_{v}}, {e_{1}, e_{2}}$ に関する座標である。 $(\begin{matrix} p_{u} \\ p_{v} \end{matrix}) = A (\begin{matrix} e_{1} \\ e_{2} \end{matrix})$ の関係があるので、 $(\begin{array}{cc} θ_{1} & θ_{2} \end{array}) = (\begin{array}{cc} α & β \end{array}) A$ である。

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{cc} α & β \end{array}) (\begin{array}{cc} E & F \\ F & G \end{array}) (\begin{array}{c} α \\ β \end{array}) & = & (\begin{array}{cc} α & β \end{array}) A^{t} A (\begin{array}{c} α \\ β \end{array}) \\ = & (\begin{array}{cc} θ_{1} & θ_{2} \end{array}) (\begin{array}{c} θ_{1} \\ θ_{2} \end{array}) \end{array}$

第二基本形式の計算

$E α^{2} + 2 M α β + N β^{2} = 1$ を満たす $α, β$ に対して、 $α p_{u} + β p_{v}$ 方向の法曲率は第二基本量を使って次のように表される。

$\begin{array}{rcl} L α^{2} + 2 M α β + N β^{2} & = & (\begin{array}{cc} α & β \end{array}) (\begin{array}{cc} L & M \\ M & N \end{array}) (\begin{array}{c} α \\ β \end{array}) \\ = & (\begin{array}{cc} θ_{1} & θ_{2} \end{array}) A^{- 1} (\begin{array}{cc} L & M \\ M & N \end{array})^{t} A^{- 1} (\begin{array}{c} θ_{1} \\ θ_{2} \end{array}) \\ = & (\begin{array}{cc} θ_{1} & θ_{2} \end{array}) B (\begin{array}{c} θ_{1} \\ θ_{2} \end{array}) \end{array}$