数学ノート コーシーの積分定理と代数学の基本定理
複素関数入門（神保道夫）の第３章で、コーシーの積分定理の応用として代数学の基本定理が証明されていた。もう少し先に進んでから証明する教科書が多いと思う。よく見かけるのはリウヴィルの定理の応用だけど、ルーシェの定理を使う方法も有名らしい。 （追...
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数学ノート 数学ノート 冪級数の収束円周上における収束性
冪級数の収束円周上における収束例 本記事の題材は複素関数入門（神保道夫）第２章で例2.2で与えられている冪級数の収束円周上の収束パターンについて。 \( \begin{eqnarray}f_0(z) &=& \frac{z}{1-z} \,...
数学ノート 対数関数と逆三角関数
今回の題材は関数論講義（金子晃）の第１章から。この本、第１章から目から鱗が落ちる。 対数関数の定義 対数関数は指数関数の逆関数として定義されることが多い。指数関数はオイラーの公式を使って定義されることも多いが、冪級数を使った定義 \( \d...
数学ノート 体の乗法群の有限部分群
はじめに 体の乗法群の有限部分群は巡回群である。特に有限体の乗法群は巡回群である。教科書によっては扱っていない内容のようで、証明を探すのに意外と手間取った。アルティン著「ガロア理論入門」を参考にした。これだけの名著がちくま学芸文庫になって安...
数学ノート 非単拡大の中間体
テーマは アルティン著「現代代数学特論」4.4中間体 から。次の定理が紹介されている。（明示的に定理としてまとめられているのではなく、内容をまとめたものである。）\( E/F \) は有限次拡大とする。 \( E/F \) が単拡大 \( ...
数学ノート 群の弱い公理
題材は 現代代数学特論（エミール・アルティン）から。たまたまこの本が出版されているのに気付き、絶版になる前にすかさず購入。 群の公理 一般的に群の公理は以下のように与えられる。 結合則\( (ab)c=a(bc) \)単位元 \(e\) の...