一般四元数群

四元数群の一般化である一般四元数群というものを群論序説(星明考 著)で見かけたので、自分が分かるように記録しておく。四元数群 Q8 は四元数体の乗法群 H× の有限部分群 {±1,±i,±j,±k} である。ここで k=ij は表記を簡潔にするために導入されたと考えて、A={±1,±i},B={±1,±j} とすれば、Q8A,B で生成される。A2m={cosnπm+isinnπm|n=0,1,,2m1} とすると、A=A4 である。A2m,B で生成された群が一般四元数群 Q4m である。αA2m に対して、αj=jα に注意すると、Q4m=A2mA2mj であり |Q4m|=4m と分かる。群論らしく基本関係で表記すると、Q4m=x,y|x2m=y4=1,xm=y2,y1xy=x1 である。