命題8.22の証明中 p.93 で \( A_n>0 \) が必要と思われるが、すぐに理由を見つけることができなかった。なんとか証明にこぎつけたので記録しておく。実は簡単なことを見落としているような気がしてならない。
準備
- \( p_k \) は単調増加である。(定義の漸化式による)
- (系3.13) \( k \geq 1 \) に対して \( q_k \geq k \)
- \( k \) が偶数の時 \( \dfrac{p_k}{q_k} < \alpha \)、奇数の時 \( \dfrac{p_k}{q_k} > \alpha \)
- (系4.6) \( \dfrac{1}{q_k \, q_{k+2}} < \left| \alpha \,-\, \dfrac{p_k}{q_k} \right| < \dfrac{1}{q_k \, q_{k+1}} \)
(系4.6) を \( \alpha = \sqrt{m} \) に適用する。\(k\) が偶数の時 \( \dfrac{p_k}{q_k} < \sqrt{m} \) だから
\( \dfrac{p_k}{q_k} + \dfrac{1}{q_k \, q_{k+2}} < \sqrt{m} < \dfrac{p_k}{q_k} + \dfrac{1}{q_k \, q_{k+1}} \)
\(k\) が奇数の時 \( \dfrac{p_k}{q_k} > \sqrt{m} \) だから
\( \dfrac{p_k}{q_k} \,-\, \dfrac{1}{q_k \, q_{k+1}} < \sqrt{m} < \dfrac{p_k}{q_k} \,-\, \dfrac{1}{q_k \, q_{k+2}} \)
証明
\( A_n = (-1)^n \left( -p_{n-1}\,p_{n-2} + m\, q_{n-1}\,q_{n-2} \right) > 0 \) を示す。
\( A_n = \dfrac{(-1)^n}{q_{n-1}\,q_{n-2}}
\left( m \,-\, \dfrac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\dfrac{p_{n-2}}{q_{n-2}} \right) \) として \(n\) の偶奇に分けて証明する。
\(n\) が偶数の時 \( m > \dfrac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\dfrac{p_{n-2}}{q_{n-2}} \) を示せば良い。
\(\begin{eqnarray}
&&
m \,-\, \dfrac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\dfrac{p_{n-2}}{q_{n-2}} \\
&>&
\left( \dfrac{p_{n-1}}{q_{n-1}} \,-\, \dfrac{1}{q_{n-1} \, q_n} \right)
\left( \dfrac{p_{n-2}}{q_{n-2}} + \dfrac{1}{q_{n-2} \, q_n} \right)
\,-\, \dfrac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\dfrac{p_{n-2}}{q_{n-2}} \\
&=&\dfrac{1}{q_{n-2}\,q_{n-1}\,q_n} \left( p_{n-1} \,-\, p_{n-2} \,-\, \dfrac{1}{q_n} \right)
\end{eqnarray}\)
\(p_n\) は単調増加だから \( p_{n-1} \,-\, p_{n-2} \geq 1 \)。また、\( \dfrac{1}{q_n} \leq 1 \) だから \( m > \dfrac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\dfrac{p_{n-2}}{q_{n-2}} \) が成り立つ。
\(n\) が奇数の時 \( m < \dfrac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\dfrac{p_{n-2}}{q_{n-2}} \) を示せば良い。
\(\begin{eqnarray}
&&
m \,-\, \dfrac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\dfrac{p_{n-2}}{q_{n-2}} \\
&<&
\left( \dfrac{p_{n-1}}{q_{n-1}} + \dfrac{1}{q_{n-1} \, q_{n}} \right)
\left( \dfrac{p_{n-2}}{q_{n-2}} \,-\, \dfrac{1}{q_{n-2} \, q_{n}} \right)
\,-\, \dfrac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\dfrac{p_{n-2}}{q_{n-2}} \\
&=&\dfrac{1}{q_{n-2}\,q_{n-1}\,q_n} \left( p_{n-2} \,-\, p_{n-1} \,-\, \dfrac{1}{q_n} \right)
\end{eqnarray}\)
\( p_{n-2} \,-\, p_{n-1} < 0 \) および \( \dfrac{1}{q_n} \leq 1 \) だから \( m < \dfrac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\dfrac{p_{n-2}}{q_{n-2}} \) が成り立つ。
